План лекций на учебный год


Первый семестр (сентябрь — декабрь)
Лекция 1
Основная тема лекции: «Основы теории множеств». Основные понятия теории множеств: множество, элемент, характеристическое свойство, способы задания. Основные математические и логические символы, кванторы. Числовые множества. Виды множеств: конечное, бесконечное, пустое. Универсальное множество. Операции над множествами: пересечение, объединение, разность, симметрическая разность и дополнение. Порядок выполнения и свойства операций. Доказательство свойств операций алгебры множеств с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Понятия системы и совокупности. Равносильность некоторых уравнений и неравенств на множестве, сведение их к совокупности или системе.
Лекция 2
Основная тема лекции: «Соответствия между множествами». Декартово произведение двух множеств. Декартов квадрат. Промежутки числовых множеств. Окрестность точки. Ограниченные множества. Соответствие между множествами. Понятия образа и прообраза. Область определения и множество значений соответствия. Граф и график соответствия. Операция инверсии. Обратное соответствие. Типы соответствий: одно-однозначные, много-однозначные, одно-многозначные, много-многозначные. Мощность конечного множества. Равномощные множества. Функциональное соответствие (функция). Способы задания функций.
Лекция 3
Основная тема лекции: «Свойства функций». Четность функций. Теоремы о графиках четной и нечетной функций. Арифметические теоремы для четных и нечетных функций. Периодичность функций. Основной период. Определение основного периода функции, аргумент которой умножен на число. Период алгебраической суммы, произведения и частного периодических функций. Монотонность функций. Локальные экстремумы графика функции, точки экстремума, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Свойства монотонных функций. Использование свойства монотонности функций при решении уравнений вида: f(x)=a, f(x)=g(x) , f( ϕ 1 (x) )=f( ϕ 2 (x) ) .
Лекция 4
Основная тема лекции: «Линейная функция». Ограниченные функции. Использование свойства ограниченности функций при решении уравнений. Обратимость функций, условия и критерий существования обратной функции. Теорема о графиках взаимно обратных функций. Сложная функция (суперпозиция). Промежуточный аргумент сложной функции. Понятие об основных элементарных функциях. Понятие об элементарных функциях. Примеры неэлементарных функций. Общая схема исследования функции.
Определение линейной функции. Свойства линейной функции. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в прямоугольной декартовой системе координат. Определение угла между двумя прямыми.
Лекция 5
Основная тема лекции: «Уравнения прямой на плоскости». Ура-внения прямой на плоскости: с угловым коэффициентом, общее уравнение, уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение в отрезках, уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору, нормальное уравнение. Расстояние от точки до прямой. Кусочно-линейные функции: модуль, сигнум, целая часть, дробная часть. Их свойства и графики. Модуль числа и его свойства. Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль.
Лекция 6
Основная тема лекции: «Основные теоремы стереометрии». Взаимное расположение прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Параллельность прямой и плоскости, двух плоскостей. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Понятие угла между параллельными, пересекающимися и скрещивающимися прямыми. Перпендикулярность прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах. Двугранный угол между двумя плоскостями. Линейный угол двугранного угла. Угол между плоскостями. Угол между прямой и плоскостью. Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости. Расстояние от точки до плоскости.

Лекция 7
Основная тема лекции: «Квадратичная функция». Определение квадратичной функции. Канонический вид квадратичной функции. График и свойства квадратичной функции. Вершина параболы. Квадратное уравнение, его корни. Приведенное квадратное уравнение. Теоремы Виета: прямая и обратная. Расположение корней квадратного уравнения относительно заданного числа. Типовые постановки задач при решении квадратных уравнений с параметром. Расположение корней квадратного уравнения относительно заданного промежутка.
К а н и к у л ы
Лекция 8
Основная тема лекции: «Тригонометрические и обратные тригонометрические функции». Понятие полного оборота. Определение угла. Градусная и радианная меры углов. Единичная числовая окружность. Соответствие между действительными числами и точками единичной окружности. Определение тригонометрических функций, их графики и свойства ( y= sin x , y= cos x , y= tg x , y= ctg x ). Основное тригонометрическое тождество и следствия из него. Некоторые специальные тригонометрические функции. Функция арксинуса, график и свойства. Функция арккосинуса, график и свойства. Функция арктангенса, график и свойства. Функция арккотангенса, график и свойства. Основные тождества, содержащие тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Лекция 9
Основная тема лекции: «Степенная функция. Показательная и логарифмическая функции». Понятие степени числа. Понятия корня n -ой степени и арифметического корня n -ой степени из числа. Свойства корней четной степени. Степенная функция с натуральным показателем: четным и нечетным. Степенная функция с целым показателем. Степенная функция с рациональным показателем.
Определение показательной функции. Свойства и график показательной функции. Понятие логарифма числа. Десятичные и натуральные логарифмы. Основные теоремы о логарифмах. Основное логарифмическое тождество. Определение логарифмической функции, свойства, график. Решение показательных уравнений и неравенств. Решение логарифмических уравнений и неравенств.
Лекция 10
Основная тема лекции: «Предел последовательности». Понятие о числовой последовательности. Способы задания. Свойства последовательностей: ограниченность, монотонность. Арифметическая и геометрическая прогрессии как частные случаи числовых последовательностей. Определение предела последовательности. Геометрический смысл предела последовательности. Теоремы об основных свойствах сходящихся последовательностей: о пределе постоянной последовательности, о единственности предела последовательности, об ограниченности сходящейся последовательности, об арифметических операциях над последовательностями и их пределах. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной последовательности. Предельный переход в неравенстве. Теорема о «зажатой» последовательности. Второй замечательный предел. Число e .
Лекция 11
Основная тема лекции: «Предел функции». Определение предела функции: по Гейне и по Коши. Различные случаи стремления аргумента и равенства предела функции. Пределы функции на бесконечности. Понятия о полуокрестностях и δ -полуокрестностях точки. Левосторонний и правосторонний пределы функции. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. Бесконечно малая функция: определение, значение предела. Теорема о сумме двух бесконечно малых функций. Теорема о произведении бесконечно малой функции на ограниченную функцию. Следствия из теоремы. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой. Бесконечно большая функция: определение, значение предела. Теоремы о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций. Теоремы об арифметических операциях над функциями и их пределах: сумма (разность), произведение, частное. Следствия.
Лекция 12
Основная тема лекции: «Предел функции». Теорема о сохранении знака функции пределом. Теорема о предельном переходе в неравенстве для функций. Теорема о «зажатой» функции. Первый замечательный предел (с доказательством). Следствия. Второй замечательный предел. Следствия (с доказательством). Сравнение бесконечно малых функций. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций. Теорема о сумме бесконечно малых различных порядков.
Лекция 13
Основная тема лекции: «Непрерывность функций». Определение непрерывной функции в точке, на интервале, на отрезке. Точки разрыва и их классификация. Теорема об арифметических операциях над непрерывными функциями. Теорема о непрерывности сложной функции. Понятие приращения аргумента и приращения функции. Определение непрерывной функции через приращения. Непрерывность основных элементарных функций. Теорема о непрерывности элементарных функциях. Основные теоремы о непрерывных функциях: первая и вторая теоремы Больцано-Коши, первая и вторая теоремы Вейерштрасса (геометрический смысл).
Лекция 14
Основная тема лекции: «Производная функции». Определение производной. Механический и геометрический смыслы производной в точке. Уравнение касательной и нормали к графику функции. Теорема о дифференцируемости непрерывной функции в точке. Бесконечная производная. Односторонние производные, необходимое и достаточное условие существования производной в точке. Производные элементарных функций. Арифметические теоремы о производных. Производные взаимно обратных функций. Таблица производных основных элементарных функций. Производная сложной функции.
Лекция 15
Основная тема лекции: «Приложения производной». Дифференцирование функций, заданных неявно. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Правило Лопиталя для вычисления пределов отношения двух непрерывно-дифференциру-емых функций. Угол между кривыми. Асимптоты графика функции. Горизонтальная асимптота. Вертикальная асимптота. Формулы для углового коэффициента и свободного члена наклонной асимптоты. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и их геометрические смыслы.

Лекция 16
Основная тема лекции: «Приложения производной». Промежутки монотонности. Необходимое условие возрастания (убывания) функции. Критические и стационарные точки функции. Локальные экстремумы как точки смены монотонности графика функции. Необходимое условие экстремума. Первое достаточное условие экстремума. Вторая производная функции в точке. Выпуклость графика и точки перегиба. Достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции. Достаточное условие точки перегиба. Второе достаточное условие экстремума. Схема исследования графика функции с помощью производной. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Примеры задач на оптимизацию. Наименьшее расстояние от точки до кривой и между кривыми.
З а ч е т,  к а н и к у л ы
Второй семестр (январь — май)
Лекция 17
Основная тема лекции: «Матрицы и операции над ними». Основные понятия о матрицах: элементы, главная диагональ, побочная диагональ, равенство матриц, порядок матрицы. Квадратная, диагональная, единичная, треугольная матрицы. Транспонирование матрицы. Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Произведение матриц. Обратная матрица. Элементарные преобразования матриц. Определители матриц второго и третьего порядков. Свойства определителей. Миноры элементов матрицы. Вырожденность матриц. Ранг матрицы.
Лекция 18
Основная тема лекции: «Системы линейных алгебраических ура-внений». Общие сведения о системах линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Решение СЛАУ. Эквивалентные СЛАУ. Совместная и несовместная СЛАУ, определенная и неопределенная совместные СЛАУ. Однородные СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли. Правило решения произвольной СЛАУ. Решение СЛАУ второго и третьего порядков по формулам Крамера. Метод Гаусса.
Лекция 19
Основная тема лекции: «Элементы векторной геометрии». Понятие вектора. Коллинеарные вектора. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы. Скалярное произведение двух векторов, свойства. Векторное произведение двух векторов, свойства. Смешанное произведение трех векторов, свойства.
Лекция 20
Основная тема лекции: «Уравнения поверхности и линии в пространстве». Уравнения поверхности и линии в пространстве. Уравнения плоскости в пространстве: общее, уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору, через три данные точки, в отрезках, нормальное уравнение. Общее уравнение прямой, как линии пересечения двух плоскостей.
Лекция 21
Основная тема лекции: «Неопределенный интеграл». Понятие дифференциала функции. Связь дифференциала с производной функции. Геометрический смысл дифференциала. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл как совокупность всех первообразных. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод замены переменной, метод внесения под знак дифференциала.
Лекция 22
Основная тема лекции: «Методы вычисления неопределенного интеграла». Метод интегрирования по частям. Интегрирование дробно-рациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка. Некоторые сложные примеры вычисления неоп-ределенного интеграла.
Лекция 23
Основная тема лекции: «Определенный интеграл». Понятия о разбиении отрезка, о диаметре разбиения; отмеченные точки; интегральная сумма для функции, определенной на отрезке. Определение определенного интеграла как предела интегральной суммы при стремлении диаметра разбиения к нулю. Критерий интегрируемости функции на заданном отрезке. Основные свойства определенного интеграла. Теорема о среднем и ее геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл четных и нечетных функций при симметричных пределах. Основные методы интегрирования с учетом наличия пределов интегрирования.
Лекция 24
Основная тема лекции: «Приложения определенного интеграла». Квадрируемые площади. Вычисление площадей плоских фигур: под графиком функции, между графиками функций. Кубируемые объемы. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Объем тела вращения. Вычисление площади поверхности вращения. Механические приложения определенного интеграла: работа переменной силы, путь, пройденный телом, давление жидкости на вертикальную пластинку. Примеры решения некоторых физических задач с применением определенного интеграла.
Лекция 25
Основная тема лекции: «Основные определения теории вероятностей». Основные определения: случайное событие, достоверное событие, невозможное событие, элементарное событие, пространство элементарных событий. Классическое определение вероятности через относительную частоту. Примеры вычисления вероятностей. Геометрическое определение вероятности. Свойства вероятностей.
Лекция 26
Основная тема лекции: «Комбинаторика». Элементы комбинаторики. Схемы выбора без возвращения: размещения, перестановки, сочетания. Схемы выбора с возвращением: размещения с повторениями, сочетания с повторениями, перестановки с повторениями.
К а н и к у л ы
Лекция 27
Основная тема лекции: «Основы теории вероятностей». Условные вероятности. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей. Вероятность суммы событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема независимых испытаний Бернулли. Примеры решения задач B6.
Лекция 28
Основная тема лекции: «Методы решения задач с параметром». Описание методов решения задач с параметром: аналитический, функциональный, функционально-графический. Примеры задач, решаемых однозначно аналитическим методом. Использование свойств функций при исследовании уравнений, содержащих параметр. Замена переменной при исследовании числа корней уравнения, содержащего параметр. Примеры.
Лекция 29
Основная тема лекции: «Методы решения задач с параметром». Геометрические методы решения задач с параметром. Метод сечений. Функции, заданные в неявном виде. Пучок прямых. Области на координатной плоскости. Примеры.
Лекция 30
Основная тема лекции: «Основы элементарной теории чисел». Десятичная запись числа. Делимость чисел. Признаки делимости. Простые и составные числа. Основная теорема арифметики и каноническое разложение натурального числа. НОД и НОК, их свойства. Алгоритм Евклида определения НОД. Количество делителей натурального числа. Сумма делителей натурального числа. Деление с остатком. Классы чисел 2k и 2k+1 : четные и нечетные числа. Классы чисел 3k , 3k+1 , 3k+2 . Другие классы чисел. Сравнение чисел по модулю натурального числа и его применение. Свойства. Малая теорема Ферма.
Лекция 31
Основная тема лекции: «Основы элементарной теории чисел». Уравнения в целых числах: методы решения, примеры. Последовательности. Среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел, среднее гармоническое. Суммирование чисел. Числа с особыми свойствами. Представление целого числа в некоторой форме. Целочисленные узлы. Методы, используемые при решении задач с целочисленными величинами. Разбор задач С6.
Лекция 32
Резерв. Комплексное повторение и подготовка к ЕГЭ по математике.
Лекция 33
Резерв. Комплексное повторение и подготовка к ЕГЭ по математике.
Лекция 34
Резерв. Комплексное повторение и подготовка к ЕГЭ по математике.

Добавить комментарий